گزاره‌هاي كلي و وجودي در منطق رياضي و كلاسيك

گزاره‌هاي كلي و وجودي در منطق رياضي و كلاسيك

(قسمت اول)

عليرضا قائمي‌نيا

مقدمه

در منطق كلاسيك، از گزاره‌ها و تقسيمات آن، به عنوان مقدمه‌اي بر مباحث حجت (تصديق معلوم موصل) بحث مي‌شود و نخست، در يك تقسيم‌بندي، قضايا به حملي و شرطي، تقسيم شده و سپس قضاياي حملي نيز، به محصورات چهارگانه (موجبه كليه، موجبه جزئيه، سالبه كليه و سالبه جزئيه) تقسيم مي‌شوند. بنابراين، قضاياي حملي و شرطي، در عرض يكديگر بوده و از نظر ماهيت، كاملا جدا هستند؛ يعني در حقيقت، هر چهار نوع، حملي‌اند؛ اما نظر منطق رياضي، هماهنگ با منطق كلاسيك نيست و در نتيجه، مدافعين هر يك از دو منطق، دلايلي را براي اثبات نظر خود و رد نظر مقابل اقامه كرده‌اند كه ما، نظري اجمالي به اين مباحث خواهيم افكند.

منطق رياضي و تحليل گزاره‌ها

در منطق رياضي، نخست، در منطق گزاره‌ها از روش‌هاي تركيب گزاره‌ها، به وسيله ثابت‌هاي منطقي و استدلال با آن‌ها بحث مي‌شود. كوچك‌ترين واحد اين بخش، خود گزاره است. از اين‌رو، نمادها نيز به جاي گزاره‌ها مي‌نشينند، اما در بخش منطق محمولات، به ساختمان دروني گزاره‌ها نظر مي‌شود. خود منطق محمولات نيز عنوان جامعي است كه به منطق محمولات مرتبه اول و مراتب بالاتر، تقسيم مي‌شود. در منطق محمولات، هر يك از محصورات چهارگانه، چنين تحول مي‌شوند:

1. موجبه كليه؛ مانند «هر انساني ميرا است».
2. موجبه جزئيه؛ مانند: «بعضي از انسان‌ها نويسنده‌اند».
3. سالبه كليه؛ مانند: «هيچ انساني سنگ نيست».
4. سالبه جزئيه؛ مانند «بعضي از انسان‌ها نويسنده نيستند».

تحليل منطق رياضي، از گزاره‌هاي كلي و جزئي، از چند نظر تفاوت دارد.

الف) گزاره‌هاي كلي (چه موجبه و چه سالبه) حقيقتا، شرطي‌اند، ولي گزاره‌هاي جزئي، حقيقتا، تركيب شرطي نيستند، بلكه در حقيقت، تركيب عطفي‌اند.
ب) گزاره‌هاي كلي، مستلزم وجود افراد نيستند، ولي قضاياي جزئيه (چه موجبه و چه سالبه) بر وجود افراد دلالت دارند. در اين‌جا نخست، مباني و دلايلي را كه منطق‌دانان رياضي، در تحليل‌هاي خود، به كار برده‌اند، بيان كرده و سپس به بررسي آن‌ها خواهيم پرداخت.

1. چرا گزاره‌هاي كلي، شرطي هستند؟

منطق‌دانان رياضي، با در نظر گرفتن مباني خاصي، گزاره‌هاي كلي را به شرطي، تحليل كرده‌اند و آن‌ها را به صورت رمزي مذكور، درآورده‌اند. ما اين مباني را به صورت سلسله منطقي ذكر مي‌كنيم:

.1. تفاوت گزاره و گزاره نما: در منطق رياضي، فرق گذاشتن ميان گزاره (قضيه) و گزاره‌نما از اهميت خاصي برخوردار است. عبارتي كه مشتمل بر متغير مي‌باشد، مانند «xعدد صحيح است» گزاره نيست، بلكه گزاره نماست؛ زيرا اين عبارت، هر چند كه داراي صورت نحوي گزاره هست، اما فاقد شرط اساسي گزاره است، كه امكان توصيف به صدق و كذب مي‌باشد. عبارت «xعدد صحيح است» را نه مي‌توان گفت كه صادق است و نه كاذب؛ زيرا معلوم نيست كه xبر چه چيزي دلالت مي‌كند. اگر به جاي xعدد 2را قرار دهيم، عبارت «(2) عدد صحيح است» حاصل خواهد شد كه گزاره‌اي صادق است، اما اگر به جاي x، «سبز» را قرار دهيم، عبارتي بي‌معنا به دست خواهد آمد. كه درنتيجه، نه صادق است و نه كاذب. چيزهايي كه به جاي مجهول (يا متغيّر) قرار مي‌گيرند، ارزش متغير ناميده مي‌شوند.

راسل مي‌گويد: عبارتي نظير «مردي را ديدم» گزاره نيست، بلكه گزاره‌نماست؛ زيرا به اين معناست: «xي را ديدم و x مرد است» و در اين‌جا، حداقل، يك ارزش داريم كه اين گزاره‌نما را صادق قرار مي‌دهد و به طور عام، همه عبارت‌هاي شامل ادات ابهام و «بعضي»، «هر» و «جميع» گزاره‌نما هستند، نه گزاره؛ همچنين، عبارت‌هايي مانند: «سقراط ميرا است» نيز گزاره‌نمايند؛ زيرا "ميرا بودن سقراط " به اين معناست كه «وقت x وجود دارد و سقراط، در x مي‌ميرد»

راسل، در كتاب «منطق و علم» چنين مي‌گويد: «هنگامي كه شما مي‌خواهيد بپرسيد كه واقعاً چه چيزي در يك گزاره كلي، مانند: «همه يوناني‌ها انسانند» اظهار شده است، مي‌يابيد كه آنچه اظهار شده است، صدق همه ارزش‌هاي چيزي است كه من آن را گزاره‌نما مي‌نامم. يك گزاره‌نما به طور ساده، هر عباراتي است كه شامل يك يا چند جزء غيير معيني است كه به محض اين‌كه جزءهاي غير معيّن مشخص شوند، به گزاره تبديل خواهد شد. گزاره‌نما به يكي از سه طريق، به گزاره تبديل مي‌شود:

1. تعيين ارزش براي متغير؛ مثلاً اگر در گزاره‌نماي x «مرد است» به جايx، علي را قرار دهيم، تبديل به گزاره خواهد شد.

ب) روش دوم، اين است كه بگوييم: همه گزاره‌هايي كه از راه تعيين ارزش، براي متغير، به دست مي‌آيند، راست هستند؛ يعني گزاره‌نما به ازاي هر ارزشي كه به آن مي‌دهيم، به گزاره راست تبديل مي‌شود. (اين مفاد گزاره كلي است)

2. روش سوم، اين است كه بگوييم: گزاره‌نما حداقل، به ازاي يكي از ارزش‌هاي متغير، به گزاره راست، تبديل مي‌شود. (اين، مفاد گزاره وجودي است كه بحث خواهد شد)

.1. ارتباط گزاره‌نما و موجهات سه گزاره‌نماي زير را با يكديگر مقايسه مي‌كنيم: «اگر x انسان است، پس x ميرا است»؛ «x انسان است»؛ «xاسب، شاخدار (Uniorn) است».

تفاوت اين سه گزاره‌نما در اين است كه اولي، به ازاي هر ارزشي كه به متغير مي‌دهيم، راست است؛ يعني هميشه راست است، اما گزاره‌نماي دوم، به ازاي بعضي از ارزش‌ها به گزاره راست تبديل مي‌شود؛ يعني گاهي راست است، ولي گزاره‌نماي سوم، به ازاي هيچ ارزشي، راست نيست.

بنابراين، به نظر راسل، بسياري از خطاهاي فلسفي، از خلط كردن گزاره‌نما و گزاره، به وجود آمده است. بسياري از فلسفه‌هاي كلاسيك، محمولاتي را به قضايا نسبت مي‌دهند، در حالي كه اين محمولات، متعلق به گزاره‌نمايند و چه بسا به موضوعات، محمولاتي را نسبت مي‌دهند كه اين محمولات نيز، متعلق به گزاره‌نمايند. در اين خلط، منطق كلاسيك نيز سهيم است؛ زيرا بحث موجهات (Modalities) را از ويژگي‌هاي گزاره‌نماست. علت اين امر روشن است؛ زيرا گزاره، تنها مي‌تواند صادق يا كاذب باشد و گزاره‌نماست كه سه حالت مذكور را دارد؛ مثلا گزاره‌نماي «x، x است» به ازاي هر ارزشي كه به x بدهيم، صادق است؛ از اين‌رو، گزاره نماي ضروري است و گزاره‌نماي «x انسان است»، گاهي صادق است؛ از اين‌رو، يك گزاره‌نماي ممكن است و گزاره‌نماي «xاسب شاخدار است»، به ازاي هيچ ارزشي، صادق نيست؛ بنابراين، گزاره‌نماي غيرممكن است.

.1. تفاوت اسم خاص و اسم كلي: مطلب ديگري كه تحليل گزاره‌هاي كلي (همچنين گزاره‌هاي جزئي) مبتني بر آن است، تفاوت ميان اسم خاص و اسم كلي (عام) است. در گزاره كلي «هر انساني ميرا است» كه در ظاهر، حملي است، اسم كلي، موضوع قرار گرفته است. اسم كلي رمزي، دال بر مركب وصفي است كه ممكن است در ميان موجودات، چيزي يا چيزهايي يافت شود كه اين كلي، در آنها نمودار شود و ممكن است هيچ فردي يافت نشود كه اين كلي، در آنها نمودار شود و ممكن است هيچ فردي يافت نشود كه كلي، بر آن، منطبق باشد. بنابراين، اسم كلي، بنفسه، متضمن وجود خود نيست؛ از اين جهت، ميان اسم خاص و اسم كلي، فرق هست؛ زيرا از نظر منطقي، محال است كه اسم علم خاص، داراي مسماي فعلي نباشد؛ زيرا بدون وجود